El
Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad q está inspirado en el
concurso televisivo q se emitió en España en la década de los 90 en Antena 3 y
q estaba presentado x Bertín Osborne, “Trato Hecho”, aunque el nombre de esta
paradoja viene x el nombre del presentador de la versión americana de dicho
programa, Monty Hall, famoso entre 1963 y 1986
En
este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio
consiste en lo q se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las
otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, q sabe dónde
está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra q detrás de ella
hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la
puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o
escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?
¿Cuál
sería la opción correcta? Quedarse con la puerta inicial… Cambiar a la otra
puerta… Es irrelevante cambiar o no cambiar
A
primera vista parece obvio q da igual (opción 3). La intuición nos dice q
ahora, quitando una puerta sin premio, la puerta q nosotros escogimos tiene un
50 % de tener una cabra y x tanto da igual cambiar q no hacerlo. Pero no sería
una paradoja o problema si fuera tan trivial, ¿verdad?
Este
problema suele generar bastante polémica (El problema original fue planteado en
la columna de Marilyn vos Savant de la revista americana “Parade” en 1990 y su
respuesta generó una avalancha de críticas de lo más erudito del mundo de las
matemáticas, diciendo, tal cual, q igual x ser mujer quizás la estadística se
viese como de otra forma a como la veían los hombres, los cuales no podían
estar equivocados)
Si
lo piensas, te darás cuenta q la intuición nos juega una mala pasada y nos hace
equivocarnos en esta ocasión. La respuesta es q debemos cambiar la puerta
para aumentar las probabilidades de ganar el coche de 1/3 (cuando eliges
la primera vez, la probabilidad de q aciertes es una entre tres) a
2/3 (es erróneo pensar q es 1/2 ya q el presentador abre la puerta después
de la elección del jugador, esto es, la elección del jugador afecta a la puerta
q abre el presentador)
Si miramos las posibilidades de éxito de
cambiar o no cambiar, vemos q si no cambiamos tenemos 1/3 y si
cambiamos tenemos 2/3. Aún resulta difícil de entender, pero resulta
indiscutible q es así
Si
no cambiamos, las posibilidades de ganar son de 1/3, ya q escogemos una vez sin
tener información y luego no cambiamos, de modo q el hecho de q el presentador
abra una puerta no cambia nuestras probabilidades, aunque parezca lo contrario.
Sin embargo, si cambiamos:
Escogemos
puerta con cabra. Presentador muestra la otra cabra. Cambiamos y GANAMOS
Escogemos
puerta con coche. Presentador muestra la otra cabra. Cambiamos y PERDEMOS
y
dado q hay 2 cabras y 1 coche las posibilidades de ganar son de 2/3
Lo explicaremos matemáticamente, con
probabilidades condicionadas. Esta es la forma más rigurosa pero probablemente
la q peor se entienda. Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos.
Asumimos q hay dos tipos de jugador, los q nunca cambian de puerta y los q
cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver q tipo de jugador
tiene la mayor probabilidad de ganar el coche
SUCESO
A. El jugador selecciona la puerta q contiene el coche desde el principio.
SUCESO
B. El jugador selecciona una puerta q contiene una cabra desde el principio
Suceso
G. El jugador gana el coche
Estamos
interesados en calcular P(G) para cada tipo de jugador
Para
calcular P(G), basta con notar que G = (G ∩ A) U (G ∩ B) ya q A ∩ B = Ø y A U B
= Ω (esto es equivalente a decir que {A , B} es una partición de Ω)
P(G)
= P ((G ∩ A) U (G ∩ B)) =
P (G ∩ A) + P (G ∩ B) =
P (G/A) P (A) + P (G/B) P (B)
En
cualquier caso, dado q no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario,
diremos q P (A) = 1/3 y P (B) = 2/3 pues hay un coche y dos cabras. Ahora
debemos definir q tipo de jugador estamos estudiando
Jugador
q nunca se cambia
En este caso P (G|A) = 1 y P (G|B) = 0 pues el jugador se queda con su
selección inicial.
Por lo tanto, P (G) = 1/3
Jugador
q siempre se cambia
En este caso P (G|A) = 0 y P (G|B) = 1 pues el jugador se cambia a la única
puerta cerrada q queda (y sabemos q como el presentador sabe dónde está el
coche, siempre mostrará una cabra)
X lo tanto P (G) = 2/3
Claramente
la mejor estrategia es cambiar siempre, pues la probabilidad efectiva de ganar
es el doble de la correspondiente al jugador q no cambia nunca
Replanteamiento del problema
Una
forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo
tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98
de las restantes para mostrar q tras de ellas hay cabras, si no cambiase su
elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de
cada 100 veces), mientras q si la cambia, ganaría si no lo ha escogido
originalmente (y x tanto es lo q resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada
100 veces! ¿No es obvia la elección?
