La PaRaDoJa De MoNTY HaLL…

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad q está inspirado en el concurso televisivo q se emitió en España en la década de los 90 en Antena 3 y q estaba presentado x Bertín Osborne, “Trato Hecho”, aunque el nombre de esta paradoja viene x el nombre del presentador de la versión americana de dicho programa, Monty Hall, famoso entre 1963 y 1986

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo q se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, q sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra q detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

¿Cuál sería la opción correcta? Quedarse con la puerta inicial… Cambiar a la otra puerta… Es irrelevante cambiar o no cambiar

A primera vista parece obvio q da igual (opción 3). La intuición nos dice q ahora, quitando una puerta sin premio, la puerta q nosotros escogimos tiene un 50 % de tener una cabra y x tanto da igual cambiar q no hacerlo. Pero no sería una paradoja o problema si fuera tan trivial, ¿verdad?

Este problema suele generar bastante polémica (El problema original fue planteado en la columna de Marilyn vos Savant de la revista americana “Parade” en 1990 y su respuesta generó una avalancha de críticas de lo más erudito del mundo de las matemáticas, diciendo, tal cual, q igual x ser mujer quizás la estadística se viese como de otra forma a como la veían los hombres, los cuales no podían estar equivocados)

Si lo piensas, te darás cuenta q la intuición nos juega una mala pasada y nos hace equivocarnos en esta ocasión. La respuesta es q debemos cambiar la puerta para aumentar las probabilidades de ganar el coche de 1/3 (cuando eliges la primera vez, la probabilidad de q aciertes es una entre tres) a 2/3 (es erróneo pensar q es 1/2 ya q el presentador abre la puerta después de la elección del jugador, esto es, la elección del jugador afecta a la puerta q abre el presentador)

Si miramos las posibilidades de éxito de cambiar o no cambiar, vemos q si no cambiamos tenemos 1/3 y si cambiamos tenemos 2/3. Aún resulta difícil de entender, pero resulta indiscutible q es así

Si no cambiamos, las posibilidades de ganar son de 1/3, ya q escogemos una vez sin tener información y luego no cambiamos, de modo q el hecho de q el presentador abra una puerta no cambia nuestras probabilidades, aunque parezca lo contrario. Sin embargo, si cambiamos:

Escogemos puerta con cabra. Presentador muestra la otra cabra. Cambiamos y GANAMOS

Escogemos puerta con coche. Presentador muestra la otra cabra. Cambiamos y PERDEMOS

y dado q hay 2 cabras y 1 coche las posibilidades de ganar son de 2/3

Lo explicaremos matemáticamente, con probabilidades condicionadas. Esta es la forma más rigurosa pero probablemente la q peor se entienda. Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos. Asumimos q hay dos tipos de jugador, los q nunca cambian de puerta y los q cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver q tipo de jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el coche

SUCESO A. El jugador selecciona la puerta q contiene el coche desde el principio.

SUCESO B. El jugador selecciona una puerta q contiene una cabra desde el principio

Suceso G. El jugador gana el coche

Estamos interesados en calcular P(G) para cada tipo de jugador

Para calcular P(G), basta con notar que G = (G ∩ A) U (G ∩ B) ya q A ∩ B = Ø y A U B = Ω (esto es equivalente a decir que {A , B} es una partición de Ω)

P(G) = P ((G ∩ A) U (G ∩ B)) =
         P (G ∩ A) + P (G ∩ B) =
         P (G/A) P (A) + P (G/B) P (B)

En cualquier caso, dado q no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario, diremos q P (A) = 1/3 y P (B) = 2/3 pues hay un coche y dos cabras. Ahora debemos definir q tipo de jugador estamos estudiando

Jugador q nunca se cambia

En este caso P (G|A) = 1 y P (G|B) = 0 pues el jugador se queda con su selección inicial.
Por lo tanto, P (G) = 1/3

Jugador q siempre se cambia

En este caso P (G|A) = 0 y P (G|B) = 1 pues el jugador se cambia a la única puerta cerrada q queda (y sabemos q como el presentador sabe dónde está el coche, siempre mostrará una cabra)
X lo tanto P (G) = 2/3

Claramente la mejor estrategia es cambiar siempre, pues la probabilidad efectiva de ganar es el doble de la correspondiente al jugador q no cambia nunca

Replanteamiento del problema

Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar q tras de ellas hay cabras, si no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras q si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y x tanto es lo q resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces! ¿No es obvia la elección?